Probabilidad Axiomática

PROBABILIDAD:

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

PROBABILIDAD AXIOMATICA:

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogoróv, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.



PRIMER AXIOMA:

La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.

SEGUNDO AXIOMA:

La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.
Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.

TERCER AXIOMA:

Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:
.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LOS AXIOMAS

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

1.- donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso imposible
2.-Para cualquier suceso
3.-
4.-Si entonces
5.-


PORBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (AB), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos), la probabilidad condicional de A dado B esta definida como:

INDEPENDENCIA DE SUCESOS:

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:
O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó P(A, B).
Puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:
En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

EXCLUSIVIDAD MUTUA:

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces, .
Además, si P(B) > 0 entonces es igual a 0.



FORMULAS


Probabilidad Axiomática:

1.- P(A) ≥ 0

2.- P(A) ≤ 1

3.- P (Ac) = 1- P(A)


Si A y B son mutuamente excluyentes:

5.- P (AUB) = P(A) + P(B)

Si A y B no son mutuamente excluyentes:

6.- P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)



Probabilidad Condicional:


7.- P(AB) = P(A∩B) / P(B)

8.- P(BA) = P(A∩B) / P(A)

Si A y B son independientes:

9.- P (AUB) = P(A) – P (B)

Si A y B son dependientes:

10.- P (A∩B) = P (B) · P (AB)

= P (A) · P (BA)


¿Que es mutuamente excluyentes?


P (AUB) = P(A) + P(B)

A y B son mutuamente excluyentes – Sus puntos no se INTERSECTAN.


P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

A y B no son mutuamente excluyentes – Uno o más de sus puntos se intersectan.